6292. Пусть вневписанные окружности треугольника, касающиеся сторон AC
и BC
, касаются прямой AB
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что середина стороны AB
совпадает с серединой отрезка PQ
.
Решение. Обозначим AB=c
, BC=a
, AC=b
. Известно, что AP=BQ=p
, где p
— полупериметр треугольника. Тогда, если T
— середина PQ
, то
PT=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}(QA+AB+BP)=\frac{1}{2}((p-c)+c+(p-c))=
=\frac{1}{2}(2p-c)=\frac{1}{2}(a+b+c-c)=\frac{a+b}{2}.
значит,
BT=PT-BP=\frac{a+b}{2}-(p-c)=\frac{a+b}{2}-\frac{a+b-c}{2}=\frac{c}{2},
т. е. T
— середина AB
.