6293. Вневписанная окружность треугольника ABC
касается его стороны BC
в точке K
, а продолжения стороны AB
— в точке L
. Другая вневписанная окружность касается продолжений сторон AB
и BC
в точках M
и N
соответственно. Прямые KL
и MN
пересекаются в точке X
. Докажите, что CX
— биссектриса угла ACN
.
Решение. Докажем сначала, что середина D
отрезка ML
совпадает с серединой стороны AB
Обозначим AB=c
, BC=a
, AC=b
. Известно, что AL=BM=p
, где p
— полупериметр треугольника. Тогда, если D
— середина ML
, то
DL=\frac{1}{2}ML=\frac{1}{2}(MA+AB+BL)=\frac{1}{2}((p-c)+c+(p-c))=
=\frac{1}{2}(2p-c)=\frac{1}{2}(a+b+c-c)=\frac{a+b}{2}.
Значит,
BD=DL-BL=\frac{a+b}{2}-(p-c)=\frac{a+b}{2}-\frac{a+b-c}{2}=\frac{c}{2},
т. е. D
— середина AB
. Что и требовалось доказать.
Перейдём к нашей задаче. Заметим, что прямая KL
параллельна биссектрисе угла при вершине B
треугольника ABC
(биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника BKL
параллельна основанию KL
). В то же время, биссектриса угла ABC
перпендикулярна прямой MN
(в равнобедренном треугольнике MBN
биссектриса угла при вершине является высотой). Значит, \angle MXL=90^{\circ}
. Поэтому XD
— медиана прямоугольного треугольника MXL
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,
\angle DLX=\angle LXD,~\angle MDX=2\angle DLX=\angle ABC.
Поэтому DX\parallel BC
, а так как D
— середина стороны AB
, то прямая DX
содержит среднюю линию треугольника ABC
, а значит, проходит через середину E
стороны AC
. Тогда
EX=XD-ED=DL-ED=\frac{a+b}{2}-\frac{a}{2}=\frac{b}{2}=EC,
т. е. треугольник XEC
— равнобедренный, а так как EX\parallel BN
, то
\angle ECN=180^{\circ}-\angle CEX=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\angle ECX)=2\angle ECX.
Следовательно, CX
— биссектриса угла ACN
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2000 г., второй тур, 9 класс