6297. В остроугольном треугольнике проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
. На стороне BC
взята точка K
, для которой \angle BB_{1}K=\angle BAC
, а на стороне AB
— точка M
, для которой \angle BB_{1}M=\angle ACB
; L
— точка пересечения высоты BB_{1}
и отрезка A_{1}C_{1}
. Докажите, что четырёхугольник B_{1}KLM
— описанный.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\beta
. Из точек A_{1}
и C_{1}
сторона AC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Тогда
\angle BA_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle CA_{1}C_{1}=\angle CAC_{1}=\alpha.
Аналогично, \angle BC_{1}A_{1}=\gamma
и \angle CA_{1}B_{1}=\alpha
.
Поскольку
\angle LB_{1}K=\angle BB_{1}K=\angle BAC=\alpha,
четырёхугольник LA_{1}KB_{1}
— вписанный. Поэтому
\angle KLB_{1}=\angle KA_{1}B_{1}=\angle CA_{1}B_{1}=\alpha=\angle KB_{1}L.
Значит, треугольник KLB_{1}
— равнобедренный, KL=KB_{1}
. Аналогично докажем, что ML=MB_{1}
. Тогда в выпуклом четырёхугольнике B_{1}KLM
известно, что
ML+KB_{1}=MB_{1}+KL.
Следовательно, около него можно описать окружность.