6298. Пусть S_{1}
и S_{2}
— две окружности, лежащие одна вне другой. Общая внешняя касательная касается их в точках A
и B
. Окружность S_{3}
проходит через точки A
и B
и вторично пересекает окружности S_{1}
и S_{2}
в точках C
и D
соответственно; K
— точка пересечения прямых, касающихся окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно в точках C
и D
. Докажите, что KC=KD
.
Решение. Воспользуемся следующими известными фактами.
1. Окружность симметрична относительно каждого своего диаметра.
2. Фигура, состоящая из двух окружностей, симметрична относительно их линии центров.
3. Общие внутренние касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров.
Пусть прямые KC
и KD
вторично пересекают окружность S_{3}
в точках L
и M
соответственно. Тогда при симметрии относительно линии центров окружностей S_{1}
и S_{3}
отрезок AB
перейдёт в отрезок CL
. Поэтому CL=AB
. Аналогично, DM=AB
. Значит, CL=DM
. Тогда четырёхугольник CDML
— равнобедренная трапеция. Поэтому треугольник KCD
— равнобедренный, KC=KD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2000 г., отборочный тур, 9 класс