6302. AA_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников AA_{1}C
и CC_{1}A
пересекает стороны AB
и BC
треугольника ABC
в точках X
и Y
. Докажите, что BX=BY
.
Решение. Пусть окружность с центром P
, вписанная в треугольник CC_{1}A
, касается прямой BC
в точке X
, а окружность с центром Q
, вписанная в треугольник AA_{1}C
, касается прямой BC
в точке Y
.
Поскольку P
и Q
— точки пересечения биссектрис треугольников CC_{1}A
и AA_{1}C
,
\angle APC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle AC_{1}C=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ},
\angle AQC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle AA_{1}C=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
(см. задачу 4770). Таким образом, из точек P
и Q
, лежащих по одну сторону от прямой AC
, отрезок AC
виден под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник APQC
— вписанный.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BXY=\angle BAP+\angle APX=\angle BAP+\angle ACQ=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2},
\angle BYX=\angle BCQ+\angle CQY=\angle BCQ+\angle CAP=\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{2}=\angle BXY.
Следовательно, треугольник BXY
— равнобедренный, BX=BY
. Что и требовалось доказать.