6304. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
с углом \angle C=40^{\circ}
выбраны точки D
и E
, для которых \angle BED=20^{\circ}
. Докажите, что AC+EC\gt AD
.
Решение. Продолжим отрезок DE
до пересечения с прямой AC
в точке F
. Тогда
\angle FEC=\angle BED=20^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CFE=\angle ACB-\angle CFE=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}.
Поэтому треугольник FCE
— равнобедренный, CF=CE
. Значит,
AC+EC=AC+CF=AF.
Рассмотрим треугольник ADF
. В нём \angle AFD=20^{\circ}
, а \angle ADF\gt\angle BED=20^{\circ}
(как внешний угол треугольника BDE
). Таким образом, в треугольнике ADF
против большего угла ADF
лежит большая сторона AF
, т. е. AC+EC=AF\gt AD
. Что и требовалось доказать.