6306. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB
в точке X
, серединный перпендикуляр к стороне AC
— в точке Y
, а описанную окружность треугольника — в точке Z
. Точки A
, X
, Y
и Z
лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX=YZ
.
Решение. Пусть указанные в условии серединные перпендикуляры пересекаются в точке O
. Тогда O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Перпендикуляр, опущенный из точки O
на хорду AZ
проходит через её середину P
. Докажем, что P
— середина отрезка XY
.
Действительно, если M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно, то
\angle OXY=\angle AXM=90^{\circ}-\angle MAX=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC,
\angle OYX=\angle NYA=90^{\circ}-\angle NAY=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=\angle OXY.
Значит, треугольник OXY
— равнобедренный. Его высота OP
является медианой, поэтому PX=PY
, т. е. P
— середина XY
. Следовательно,
AX=AP-PX=ZP-PY=YZ.
Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2001 г., первый тур, 10 класс
Источник: Московская математическая регата. — 2018-2019, пятый тур, № 2, 9 класс