6307. На стороне AC
треугольника ABC
выбрана точка D
, для которой 2AD=DC
. E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки D
на отрезок BC
, F
— точка пересечения отрезков BD
и AE
. Найдите угол ADB
, если известно, что треугольник BEF
— равносторонний.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Из прямоугольного треугольника BDE
находим, что
\angle BDE=90^{\circ}-\angle DBE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle DEF=\angle BFE-\angle BDE=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}=\angle FDE.
Поэтому треугольник DFE
— равнобедренный, FD=FE=BF
. Значит, F
— середина отрезка BD
.
Пусть K
— середина DC
. Тогда KD=AD
, т. е. D
— середина AK
. С другой стороны, FK
— средняя линия треугольника BDC
, поэтому FK\parallel BC
и
\angle DFK=\angle DBC=60^{\circ}=\angle AFD.
Значит, медиана FD
треугольника AFK
является его биссектрисой. Следовательно, треугольник AFK
— равнобедренный, а FD
— его высота, т. е.
\angle ADB=\angle ADF=90^{\circ}.