6308. Точка D
— середина основания AC
равнобедренного треугольника ABC
. Точка E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки D
на сторону BC
. Отрезки AE
и BD
пересекаются в точке F
. Установите, какой из отрезков BF
и BE
длиннее.
Ответ. BE\gt BF
.
Решение. Отрезок DE
— катет прямоугольного треугольника DEC
, а DC
— гипотенуза, поэтому
DE\lt DC=AD.
Тогда в треугольнике AED
сторона DE
, лежащая против угла DAE
меньше стороны AD
, лежащей против угла AED
. Поэтому \angle DAE\lt\angle AED
. Значит,
\angle BFE=\angle AFD=90^{\circ}-\angle DAE\gt90^{\circ}-\angle AED=\angle BEF.
Следовательно, в треугольнике BEF
против угла BFE
, большего, чем угол BEF
, лежит сторона BE
, большая стороны BF
, лежащей против угла BEF
.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2001 г., второй тур, 7 класс
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013-2014, второй этап, задача 4, 8 класс