6309. В треугольнике ABC
известно, что BC=2AC
. На стороне BC
выбрана точка D
, для которой \angle CAD=\angle CBA
. Прямая AD
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C
в точке E
. Докажите, что AE=AB
.
Указание. Пусть M
— середина BC
. Докажите равенство треугольников ACE
и BMA
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle BCE=\frac{180^{\circ}-\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2},
\angle ACE=\angle ACB+\angle BCE=\gamma+\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}.
Пусть M
— середина стороны BC
. Тогда
CM=BM=\frac{1}{2}BC=AC.
Из равнобедренного треугольника ACM
находим, что
\angle AMC=\frac{180^{\circ}-\angle ACM}{2}=\frac{180^{\circ}-\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.
Поэтому
\angle AMB=180^{\circ}-\angle AMC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}=\angle ACE.
Треугольники ACE
и BMA
равны по стороне (AC=BM
) и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AE=AB
. Что и требовалось доказать.