6310. В параллелограмме ABCD
известно, что AB+CD=AC
. На стороне BC
находится такая точка K
, что \angle ADB=\angle BDK
. Найдите BK:KC
.
Ответ. 2:1
.
Решение. Первый способ. Поскольку \angle KBD=\angle ADB=\angle KDB
, треугольник BKD
— равнобедренный (рис. 1). Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Тогда O
— середина основания BD
равнобедренного треугольника BKD
. Значит, KO
— высота треугольника BKD
.
Поскольку CD=\frac{1}{2}AC=CO
, треугольник DCO
— также равнобедренный, поэтому его высота CH
является медианой. Тогда OH=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OB
.
Прямые KO
и CH
параллельны, так как обе они перпендикулярны BD
. Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BK}{KC}=\frac{BO}{OH}=\frac{BO}{\frac{1}{2}BO}=2.
Второй способ. На продолжении стороны DC
за точку C
отложим отрезок CN=DC
(рис. 2). Тогда CN=DC=AB
и CN\parallel AB
, поэтому ABNC
— параллелограмм, значит, BN=AC=DN
. Треугольник BKD
равнобедренный, так как \angle KBD=\angle ADB=\angle BDK
. Поэтому KB=KD
.
Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
. Точки N
и K
равноудалены от концов отрезка BD
, значит, они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BD
, т. е. на медиане NO
равнобедренного треугольника BND
, а так как BC
— также медиана этого треугольника, то K
— точка пересечения его медиан. Следовательно, \frac{BK}{KC}=2
.
Автор: Лифшиц Ю. М.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2002 г., первый тур, 9 класс