6314. Дан треугольник ABC
. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно. На продолжении отрезка C_{1}B_{1}
отложен отрезок B_{1}K
по длине равный \frac{1}{4}BC
. Известно, AA_{1}=BC
. Докажите, что AB=BK
.
Решение. Пусть медиана AA_{1}
треугольника ABC
пересекается со средней линией B_{1}C_{1}
в точке O
. Тогда AB_{1}A_{1}C_{1}
— параллелограмм, поэтому O
— середина B_{1}C_{1}
и AA_{1}
.
Положим AA_{1}=BC=4a
. Тогда
B_{1}C_{1}=2a,~OC_{1}=OB_{1}=a,~B_{1}K=\frac{1}{4}BC=a,~OK=2a.
Четырёхугольник BOKA_{1}
— также параллелограмм, поэтому M
— середина BK
. Точка O
лежит на медиане KC_{1}
треугольника AKB
и делит эту медиану в отношении \frac{KO}{OC_{1}}=\frac{2a}{a}=2:1
, значит, O
— точка пересечения медиан этого треугольника. Поэтому медиана AM
треугольника ABC
проходит через точку O
и
AM=\frac{3}{2}AO=\frac{3}{2}\cdot2a=3a=KC_{1}.
В треугольнике AKB
медианы KC_{1}
и AM
равны, следовательно, этот треугольник — равнобедренный, AB=BK
.
Автор: Иванов С. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2002 г., второй тур, 8 класс