6315. Внутри треугольника ABC
на биссектрисе его угла B
выбрана такая точка M
, что AM=AC
и \angle BCM=30^{\circ}
. Докажите, что \angle AMB=150^{\circ}
.
Решение. Пусть K
и L
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на стороны AB
и BC
, а N
— середина гипотенузы CM
прямоугольного треугольника CML
. Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон, поэтому MK=ML
. Катет, лежащий против угла в 30^{\circ}
, равен половине гипотенузы, поэтому ML=\frac{1}{2}CM=MN
, значит, MK=MN
, а так как KN\perp AN
, то точка M
равноудалена от сторон угла NAK
. Следовательно, AM
— биссектриса этого угла.
Обозначим \angle CAN=\angle NAM=\angle MAK=\alpha
. Тогда
\angle ACN=90^{\circ}-\alpha,~\angle ACB=(90^{\circ}-\alpha)+30^{\circ}=120^{\circ}-\alpha,
\angle BAC=3\alpha,~\angle ABC=180^{\circ}-3\alpha-(120^{\circ}-\alpha)=60^{\circ}-2\alpha,
\angle ABM=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(60^{\circ}-2\alpha)=30^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
\angle AMB=180^{\circ}-\angle BAM-\angle ABM=180^{\circ}-\alpha-(30^{\circ}-\alpha)=150^{\circ}.
Автор: Петров Ф. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2002 г., второй тур, 8 класс