6316. На стороне AC
треугольника ABC
отмечена точка K
, причём AK=2KC
и \angle ABK=2\angle KBC
. F
— середина стороны AC
, L
— проекция точки A
на BK
. Докажите, что прямые FL
и BC
перпендикулярны.
Решение. Пусть R
— точка, симметричная точке C
относительно прямой BK
, M
— середина CR
. Прямые AL
и CR
параллельны (обе перпендикулярны прямой BL
), поэтому
\frac{MC}{AL}=\frac{CK}{AK}=\frac{1}{2},~CR=2CM=AL,
значит, ALCR
— параллелограмм.
Точка F
— середина диагонали AC
этого параллелограмма, а поэтому вторая его диагональ LR
проходит через точку F
. Отрезки LR
и LC
равны, так как они симметричны относительно прямой BK
, поэтому AR=LC=LR
, значит, точка R
равноудалена от концов отрезка AL
.
Луч BL
— биссектриса угла CBR
, а по условию \angle ABL=2\angle CBL
, т. е. BR
— биссектриса угла ABL
.
Пусть луч BR
пересекает описанную окружность треугольника ABL
в точке R_{1}
. Тогда R_{1}
— середина дуги AL
, не содержащей точки B
. Значит, точка R_{1}
лежит на серединном перпендикуляре к хорде AL
, а так как серединный перпендикуляр и биссектриса угла ABL
пересекаются в точке R
и не лежат на одной прямой, то точка R_{1}
совпадает с R
.
Таким образом, точки A
, B
, L
и R
лежат на одной окружности, а так как \angle ALB=90^{\circ}
, то и \angle ARB=90^{\circ}
, т. е. прямая AR
, а значит, и CL
, перпендикулярна BR
. Следовательно, и симметричные им прямые FL
и BC
перпендикулярны.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2002 г., второй тур, 9 класс