6317. I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Окружность, проходящая через точку I
, касается сторон AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что отрезок XY
касается вписанной в треугольник ABC
окружности.
Решение. Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому AI
, BI
и CI
— биссектрисы треугольника ABC
. Для решения задачи достаточно доказать, что четырёхугольник BXYC
— вписанный. Докажем, что биссектрисы его четырёх углов пересекаются в точке I
. Для этого достаточно доказать, что XI
и YI
— биссектрисы углов BXY
и CYX
.
Треугольники XAI
и YAI
равны по двум сторонам и углу между ними (AX=AY
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), поэтому XI=YI
, значит, треугольник XIY
— равнобедренный, \angle IYX=\angle IXY
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BXI=\angle IYX=\angle IXY.
Аналогично,
\angle CYX=\angle IXY=\angle IYX.
Следовательно, XI
и YI
— биссектрисы углов BXY
и CYX
. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2002 г., второй тур, 11 класс