6318. Пусть O
— центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC
, точка C_{1}
симметрична C
относительно O
, D
— середина стороны AB
, K
— центр описанной окружности треугольника ODC_{1}
. Докажите, что точка O
делит пополам отрезок прямой OK
, лежащий внутри угла ACB
.
Решение. Пусть прямая OK
пересекает стороны BC
и AC
в точках X
и Y
соответственно, а описанную окружность S_{1}
треугольника ODC_{1}
— в точке Z
. Поскольку OD\perp OA
и DZ\perp OD
(точка D
лежит на окружности S_{1}
с диаметром OZ
), точки A
, D
и Z
лежат на одной прямой.
Пусть S
— описанная окружность треугольника ABC
. Докажем, что треугольник COX
подобен треугольнику ADC_{1}
. Действительно,
\angle COX=\angle ZOC_{1}=\angle ZDC_{1}=\angle ADC_{1},
так как вписанные в окружность S_{1}
углы ZOC_{1}
и ZDC_{1}
опираются на одну и ту же дугу. Кроме того,
\angle OCX=\angle C_{1}CB=\angle C_{1}AB=\angle C_{1}AD,
так как вписанные в окружность S
углы C_{1}CB
и C_{1}AB
также опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольник COX
подобен треугольнику ADC_{1}
по двум углам. Аналогично, треугольник COY
подобен треугольнику BDC_{1}
.
Тогда \frac{OX}{OC}=\frac{DC_{1}}{AB}
и \frac{OY}{OC}=\frac{DC_{1}}{DB}
, а так как AD=BD
, то приравняв правые части первых двух равенств, получим, что OX=OY
.
Автор: Станоевич Р.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2002 г., отборочный тур, 9 класс