6319. Через центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD
проведена прямая. Она пересекает сторону AB
в точке X
и сторону CD
в точке Y
; известно, что \angle AXY=\angle DYX
. Докажите, что \frac{AX}{BX}=\frac{CY}{DY}
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD
. Тогда AO
и BO
— биссектрисы углов BAD
и CDA
. Положим
\angle XAO=\angle DAO=\alpha,~\angle YDO=\angle ADO=\beta,~\angle AXO=\angle DYO=\varphi.
Тогда 2\alpha+2\beta+2\varphi=360^{\circ}
как сумма углов четырёхугольника AXYD
. Поэтому \alpha+\beta+\varphi=180^{\circ}
, значит,
\angle AOX=180^{\circ}-\alpha-\varphi=\beta,~\angle DOY=180^{\circ}-\beta-\varphi=\alpha.
Следовательно, треугольники AXO
и OYD
подобны по двум углам, откуда \frac{AX}{OY}=\frac{OX}{DY}
, AX\cdot DY=OX\cdot OY
. Аналогично докажем, что BX\cdot CY=OX\cdot OY
. Следовательно, AX\cdot DY=BX\cdot CY
, откуда \frac{AX}{BX}=\frac{CY}{DY}
.