6320. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
выполняются равенства: \angle B=\angle C
и CD=2AB
. На стороне BC
выбрана такая точка X
, что \angle BAX=\angle CDA
. Докажите, что AX=AD
.
Решение. Пусть K
— середина стороны CD
. Тогда CK=DK=\frac{1}{2}CD=AB
, а так как \angle B=\angle C
, то ABCK
— равнобедренная трапеция. Значит, AK\parallel BC
и \angle AKD=\angle C
.
Треугольники ABX
и DKA
равны по стороне (AB=DK
) и прилежащим к ней углам, следовательно, AX=AD
.
Автор: Иванов С. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2005 г., первый тур, 8 класс