6321. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF
диагонали AD
, BE
и CF
равны. Пусть P
— точка пересечения диагоналей AD
и CF
, R
— точка пересечения диагоналей BE
и CF
, Q
— точка пересечения диагоналей AD
и BE
. Известно, что AP=PF
, BR=CR
и DQ=EQ
. Докажите, что точки A
, B
, C
, D
, E
и F
лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника PQR
. Тогда луч OP
содержит биссектрису угла APF
, а так как треугольник APF
равнобедренный, то прямая PO
— серединный перпендикуляр к отрезку AF
, значит, OA=OF
. Аналогично, OB=OC
и OD=OE
. Кроме того,
\angle OAP=\angle OAF-\angle PAF=\angle OFA-\angle PFA=\angle OFP.
Треугольники AOD
и FOC
равны по двум сторонам и углу между ними (AO=OF
, AD=FC
и \angle OAD=\angle OFC
), значит, OD=OC
. Аналогично докажем, что OA=OB
. Следовательно, OF=OA=OB=OC=OD=OE
, т. е. O
— центр окружности, проходящей через точки A
, B
, C
, D
, E
и F
.
Аналогично для остальных случаев.
Автор: Образцов Т.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2005 г., первый тур, 9 класс