6322. AD
— диаметр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
. Точка E
симметрична точке A
относительно середины BC
. Докажите, что DE\perp BC
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, K
— середина BC
. Тогда K
— середина AE
, поэтому OK
— средняя линия треугольника ADE
. Значит, DE\parallel OK
.
В равнобедренном треугольнике BOC
точка K
— середина основания BC
, поэтому OK\perp BC
, а так как DE\parallel OK
, то DE\perp BC
.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2005 г., первый тур, 10 класс