6323. В треугольнике ABC
с углом B
, равным 60^{\circ}
, проведена биссектриса CL
. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Описанная окружность треугольника ALI
пересекает сторону AC
в точке D
. Докажите, что точки B
, L
, D
и C
лежат на одной окружности.
Решение. Лучи AI
и CI
— биссектрисы углов BAC
и ACB
треугольника ABC
, поэтому
\angle AIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 4770), значит,
\angle AIL=180^{\circ}-\angle AIC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Рассмотрим описанную окружность треугольника ALI
. Вписанные в неё углы ADL
и AIL
опираются на одну и ту же дугу, значит, \angle ADL=\angle AIL=60^{\circ}
. Тогда
\angle CDL+\angle LBC=(180^{\circ}-\angle ADL)+\angle ABC=(180^{\circ}-60^{\circ})+60^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник BLDC
— вписанный, т. е. точки B
, L
, D
и C
лежат на одной окружности.