6324. Дан равносторонний треугольник ABC
. На сторонах AB
, AC
и BC
выбраны точки X
, Y
и Z
соответственно так, что BZ=2AY
и \angle XYZ=90^{\circ}
. Докажите, что AX+CZ=XZ
.
Решение. Через точку Z
параллельно стороне AB
проведём прямую до пересечения со стороной AC
в точке P
. Тогда треугольник CPZ
— также равносторонний, поэтому ZP=CZ=CP
и AP=BZ=2AY
, т. е. Y
— середина отрезка AP
.
Продолжим катет ZY
до пересечения с прямой AB
в точке K
. Тогда треугольники AKY
и PZY
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (\angle KAY=\angle ZPY=120^{\circ}
), поэтому AK=ZP=CZ
, а Y
— середина отрезка KZ
.
Треугольник KXZ
— равнобедренный, так как его высота XY
является медианой. Следовательно,
XZ=KX=AX+AK=AX+ZP=AX+CZ.
Что и требовалось доказать.