6325. Дан треугольник ABC
. На сторонах AB
, AC
и BC
выбраны точки D
, E
и F
соответственно так, что BF=2CF
, CE=2AE
и \angle DEF=90^{\circ}
. Докажите, что \angle ADE=\angle EDF
.
Решение. Через точку F
параллельно стороне AB
проведём прямую до пересечения со стороной AC
в точке P
. По теореме о пропорциональных отрезках CP=\frac{1}{3}AC=AE
, поэтому
PE=AC-AE-CP=AC-\frac{2}{3}AC=\frac{1}{3}AC,
значит, E
— середина отрезка AP
.
Продолжим катет FE
до пересечения с прямой AB
в точке K
. Тогда треугольники AKE
и PFE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (\angle KAE=\angle FPE
), поэтому E
— середина отрезка KF
.
Треугольник KDF
— равнобедренный, так как его высота DE
является медианой. Следовательно, DE
— биссектриса угла ADF
. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2005 г., второй тур, 8 класс