6328. Окружность, проходящая через вершины B
и C
прямоугольного треугольника ABC
, пересекает гипотенузу AC
в точке X
. Касательные к этой окружности, проведённые в точках X
и B
, пересекаются в точке Y
. Докажите, что точка Y
лежит на средней линии треугольника ABC
, параллельной стороне BC
, или на её продолжении.
Решение. Пусть M
— середина гипотенузы AC
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка X
между M
и C
). Нам достаточно доказать, что MY\parallel BC
.
Обозначим \angle ACB=\gamma
. Треугольник BMC
— равнобедренный, поэтому \angle MBC=\angle MCB=\gamma
, а по теореме о внешнем угле треугольника \angle AMB=2\gamma
.
Треугольник BXY
— также равнобедренный, так как YB=YX
как касательные, проведённые к окружности из одной точки. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BXY=\angle XBY=\angle BCX=\gamma
, поэтому \angle BYX=180^{\circ}-2\gamma=\angle XMB
, значит, точки B
, Y
, X
и M
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы BMY
и BXY
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BMY=\angle BXY=\gamma=\angle MBC.
Следовательно, MY\parallel BC
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка M
расположена между X
и C
.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2005 г., второй тур, 10 класс