6329. AE
и CD
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Биссектриса угла B
пересекает отрезок DE
в точке F
. На отрезках AE
и CD
взяли такие точки P
и Q
соответственно, что четырёхугольники ADFQ
и CEPF
— вписанные. Докажите, что AP=CQ
.
Решение. Из точек D
и E
сторона AC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Вписанные в эту окружность углы AED
и ACD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AED=\angle ACD
. Аналогично \angle CDE=\angle CAE
.
Кроме того, \angle CFE=\angle CPE
как опирающиеся на одну и ту же дугу углы, вписанные в окружность, проходящую через точки C
, E
, P
и F
. Поэтому
\angle CFD=180^{\circ}-\angle CFE=180^{\circ}-\angle CPE=\angle CPA.
Треугольник CFD
подобен треугольнику CPA
по двум углам (\angle CFD=\angle CPA
и \angle CDF=\angle CAP
), поэтому \frac{AP}{DF}=\frac{AC}{DC}
, откуда находим, что AP=AC\cdot\frac{DF}{DC}
. Аналогично докажем, что треугольник AFE
подобен треугольнику AQC
, откуда CQ=AC\cdot\frac{EF}{AE}
. Следовательно,
\frac{AP}{CQ}=\frac{AC\cdot\frac{DF}{DC}}{AC\cdot\frac{EF}{AE}}=\frac{\frac{DF}{DC}}{\frac{EF}{AE}}=\frac{DF}{FE}\cdot\frac{AE}{DC}=\frac{BD}{BE}\cdot\frac{BE}{BD}=1
(\frac{DF}{FE}=\frac{BD}{BE}
по свойству биссектрисы треугольника, а \frac{AE}{DC}=\frac{BE}{BD}
из подобия прямоугольных треугольников ABE
и CBD
). Следовательно, AP=CQ
.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2005 г., второй тур, 10 класс