6331. Окружность, проходящая через вершины A
и B
треугольника ABC
, пересекает стороны AC
и BC
в точках X
и Y
соответственно. При этом центр вневписанной окружности треугольника XYC
, касающейся стороны XY
, лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что отрезок XY
проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть S
— описанная окружность треугольника ABC
, S_{1}
— окружность, проходящая через точки A
, B
, X
и Y
, P
— центр вневписанной окружности треугольника XYC
, касающейся стороны XY
.
Из условия задачи следует, что CP
— биссектриса угла ACB
. Центр I
вписанной окружности треугольника ABC
лежит на биссектрисе каждого угла этого треугольника. Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AIP=\angle ACP+\angle CAI=\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{2}.
В то же время, вписанные в окружность S
углы APC
и ABC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle API=\angle APC=\angle ABC=\beta.
Поскольку XP
— биссектриса угла AXY
, а четырёхугольник AXYB
вписан в окружность S_{1}
,
\angle AXP=\frac{1}{2}\angle AXY=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=\frac{1}{2}(\gamma+\alpha)=\angle AIP
Таким образом, из точек X
и I
отрезок AP
виден под одним и тем же углом \beta
, значит, точки X
, I
, A
и P
лежат на одной окружности. По свойству вписанного четырёхугольника
\angle AXI=180^{\circ}-\angle API=180^{\circ}-\beta=\angle AXY
(четырёхугольник AXYB
вписан в окружность S_{1}
). Следовательно, точка I
лежит на XY
.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2005 г., отборочный тур, 9 класс