6333. Через вершины A
и B
остроугольного треугольника ABC
проведена окружность, пересекающая сторону AC
в точке X
, а сторону BC
— в точке Y
. Оказалось, что эта окружность проходит через центр описанной окружности треугольника XCY
. Отрезки AY
и BX
пересекаются в точке P
. Известно, что \angle ACB=2\angle APX
. Найдите угол ACB
.
Ответ. 72^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности \omega
треугольника XCY
, \omega_{1}
— окружность, проходящая через точки A
, B
, X
и Y
. Обозначим \angle APX=\alpha
. Тогда
\angle XCY=\angle ACB=2\alpha,~\angle XOY=2\angle XCY=4\alpha
(центральный угол XOY
окружности \omega
вдвое больше вписанного угла XCY
).
Вписанный в окружность \omega_{1}
угол XOY
опирается на дугу XABY
, значит, эта дуга равна 8\alpha
, а так как сумма меньших дуг AX
и BY
вдвое больше угла APX
, равного \alpha
, то большая дуга AB
равна 8\alpha-2\alpha=6\alpha
. Значит, \angle AXB=3\alpha
.
Из вписанного четырёхугольника BYOX
находим, что
\angle XBY=180^{\circ}-\angle XOY=180^{\circ}-4\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника \angle AXB=\angle ACB+\angle XBY
, или
3\alpha=2\alpha+(180^{\circ}-4\alpha),
откуда находим, что \alpha=\frac{180^{\circ}}{5}=36^{\circ}
. Следовательно, \angle ACB=2\alpha=72^{\circ}
.