6334. Внутри треугольника ABC
выбрана произвольная точка X
. Лучи AX
, BX
и CX
пересекают описанную около треугольника ABC
окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Точка A_{2}
симметрична точке A_{1}
относительно середины стороны BC
. Аналогично определяются точки B_{2}
и C_{2}
. Докажите, что найдётся такая фиксированная точка Y
, не зависящая от выбора X
, что точки Y
, A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Определим точку H
равенством \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
(точка H
является ортоцентром треугольника ABC
, но нам это не понадобится). Докажем, что H
— это искомая точка Y
, т. е., что точки H
, A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
лежат на одной окружности.
Пусть K
— вершина параллелограмма OA_{1}KA_{2}
. Тогда OBKC
— также параллелограмм. Поэтому
\overrightarrow{OA_{2}}=\overrightarrow{A_{1}K}=\overrightarrow{A_{1}O}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{A_{1}O}+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=-\overrightarrow{OA_{1}}+(\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OH}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}}).
Аналогично,
\overrightarrow{OB_{2}}=\overrightarrow{OH}-(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB_{1}}),~\overrightarrow{OC_{2}}=\overrightarrow{OH}-(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC_{1}}).
Пусть A_{3}
, B_{3}
и C_{3}
— середины хорд AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Тогда отрезок OX
виден из точек A_{3}
, B_{3}
и C_{3}
под прямым углом. Следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром OX
.
При гомотетии с центром O
и коэффициентом -2
точки A_{3}
, B_{3}
и C_{3}
перейдут в некоторые точки A_{4}
, B_{4}
и C_{4}
, причём эти точки и точка O
лежат на одной окружности, а также
\overrightarrow{OA_{4}}=-2\overrightarrow{OA_{3}}=-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}})=\overrightarrow{OA_{2}}-\overrightarrow{OH},
\overrightarrow{OB_{4}}=-2\overrightarrow{OB_{3}}=-(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB_{1}})=\overrightarrow{OB_{2}}-\overrightarrow{OH},
\overrightarrow{OC_{4}}=-2\overrightarrow{OC_{3}}=-(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC_{1}})=\overrightarrow{OC_{2}}-\overrightarrow{OH}.
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{OH}
точка O
перейдёт в точку H
, а точки A_{4}
, B_{4}
и C_{4}
— в точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
. Следовательно, точки H
, A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2005 г., отборочный тур, 11 класс