6336. Дан равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC
). Выбрана точка X
на стороне AC
. Окружность проходит через точку X
, касается стороны AC
и пересекает описанную окружность треугольника ABC
в таких точках M
и N
, что прямая MN
делит отрезок BX
пополам и пересекает стороны AB
и BC
в точках P
и Q
. Докажите, что описанная окружность треугольника BPQ
проходит через центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть T
— середина отрезка BX
, O
— центр описанной окружности \omega
треугольника ABC
, \omega_{1}
— заданная в условии окружность, касающаяся AC
в точке X
.
При симметрии относительно точки T
вершина B
переходит в точку X
, окружность \omega
— в окружность, касающуюся AC
в точке X
, имеющую с \omega
общую хорду и проходящую через точку X
, т. е. в окружность \omega_{1}
.
Пусть A_{1}
и C_{1}
— точки, симметричные относительно T
вершинам соответственно A
и C
, Тогда ABA_{1}X
— параллелограмм, поэтому BA_{1}\parallel AX
и A_{1}X\parallel AB
. Если Q_{1}
— точка пересечения прямых BC
и XA_{1}
, то треугольники A_{1}Q_{1}B
и XQ_{1}C
равнобедренные, так как они подобны равнобедренному треугольнику ABC
. Тогда A_{1}Q_{1}=Q_{1}B
и XQ_{1}=Q_{1}C
, значит, A_{1}Q_{1}\cdot Q_{1}X=BQ_{1}\cdot Q_{1}C
, т. е. точка Q_{1}
имеет одинаковые степени относительно окружностей \omega_{1}
и \omega
. Следовательно, точка Q_{1}
лежит на общей хорде MN
этих окружностей, а так как единственная общая точка прямых BC
и MN
— это точка Q
, то точка Q_{1}
совпадает с Q
. Аналогично, точка пересечения XC_{1}
и AB
— точка P
. Тогда PBQX
— параллелограмм, поэтому CQ=QX=BP
.
Треугольники OCQ
и OBP
равны по двум сторонам (OC=OB
как радиусы окружности \omega
, CQ=BP
по доказанному) и углу между ними (\angle OCQ=\angle OCB=\angle OBA=\angle OBP
, так как треугольники ABC
и BOC
— равнобедренные). Тогда
\angle OPB+\angle OQB=\angle OPB+(180^{\circ}-\angle OQC)=\angle OQC+(180^{\circ}-\angle OQC)=180^{\circ},
значит, четырёхугольник OPBQ
— вписанный. Следовательно, описанная окружность треугольника BPQ
проходит через точку O
. Что и требовалось доказать.