6338. На стороне AC
треугольника ABC
нашлись точки K
и L
, такие, что L
— середина AK
и BK
— биссектриса угла LBC
. Оказалось, что BC=2BL
. Докажите, что KC=AB
.
Решение. Пусть M
— середина BC
. Тогда BM=AM=\frac{1}{2}BC=BL
. Треугольники BKL
и BKM
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AL=LK=MK
и
\angle ALB=180^{\circ}-\angle BLK=180^{\circ}-\angle BMK=\angle CMK.
Треугольники ALB
и KMC
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB=KC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Максимов Д.
Автор: Петров Ф. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2008 г., первый тур, 8 класс