6339. На продолжении стороны AD
вписанного четырёхугольника ABCD
за точку D
отмечена точка E
, такая, что AC=CE
и \angle BDC=\angle DEC
. Докажите, что AB=DE
.
Решение. Обозначим \angle DEC=\angle BDC=\alpha
. Поскольку треугольник ACE
— равнобедренный (AC=CE
), \angle CAE=\angle AEC=\angle DEC=\alpha
.
Вписанные углы BAC
и BDC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle BAC=\angle BDC=\alpha=\angle CAD
. Значит, BC=CD
.
По свойству вписанного четырёхугольника
\angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC=\angle CDE.
Таким образом,
\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ}-\angle DEC-\angle CDE=\angle DCE.
Значит, треугольники ABC
и EDC
равны по двум сторонам (AC=CE
, BC=CD
) и углу между ними. Следовательно, AB=DE
. Что и требовалось доказать.
Автор: Пастор А. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2008 г., первый тур, 9-10 класс