6343. Пятиугольник ABCDE
описан около окружности s
. Сторона BC
касается окружности s
в точке K
. Известно, что AB=BC=CD
. Докажите, что \angle EKB=90^{\circ}
.
Решение. Пусть стороны AB
, CD
, DE
и AE
касаются окружности s
в точках P
, L
, M
и N
соответственно. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,
AN=AP,~BP=BK,~CK=CL,~DL=DM,~EM=EN,
а так как AB=BC=CD
, то
AN=AP=CK=CL.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из точек A
и C
, равны, поэтому \angle EAB=\angle BCD
, значит, треугольники ABN
и CDK
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BN=KD
и \angle ABN=\angle CDK
.
Аналогично \angle ABC=\angle CDE
. Поэтому
\angle NBK=\angle ABC-\angle ABN=\angle CDE-\angle CDK=\angle KDM,
значит, треугольники NBK
и KDM
также равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда треугольники ENK
и EMK
равны по трём сторонам. Следовательно, \angle AEK=\angle DEK
.
Таким образом, три угла четырёхугольника EABK
соответственно равны трём углам четырёхугольника EDCK
, значит, четвёртые углы также равны, т. е. \angle BKE=\angle CKE
, а так как они смежные, то каждый из них равен 90^{\circ}
.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2008 г., второй тур, 9 класс