6344. Точка O
— центр описанной окружности вписанного четырёхугольника ABCD
. Известно, что \angle ABC\gt\angle ADC
и \angle AOC=\angle BAD=110^{\circ}
. Докажите, что AB+AD\gt CD
.
Решение. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180^{\circ}
и \angle ABC\gt\angle ADC
, поэтому
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\frac{\smile ADC}{2}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(360^{\circ}-\smile ABC)=
=180^{\circ}-\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle AOC)=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\cdot110^{\circ}=55^{\circ},~\angle ABC=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}.
Тогда
\angle ABC+\angle BAD=125^{\circ}+110^{\circ}\gt180^{\circ},
значит, продолжения сторон AD
и BC
за точки A
и B
пересекаются в некоторой точке K
, причём эта точка и четырёхугольник ABCD
лежат по разные стороны от прямой AB
.
В треугольнике AKB
известно, что
\angle KAB=180^{\circ}-\angle DAB=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ},
\angle KBA=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ},
\angle AKB=180^{\circ}-70^{\circ}-55^{\circ}=55^{\circ},
значит, этот треугольник — равнобедренный, AK=AB
.
В треугольнике CKD
известно, что
\angle CKD=55^{\circ},~\angle DCK=\angle KAB=70^{\circ}\gt\angle CKD,
значит, DK\gt CD
, а так как DK=AD+AK=AD+AB
, то AB+AD\gt CD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Пастор А. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2008 г., второй тур, 10 класс