6345. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Пусть s_{1}
— окружность, проходящая через точки A
и B
и касающаяся прямой AC
, а s_{2}
— окружность, проходящая через точки C
и D
и касающаяся AC
. Докажите, что прямые AC
, BD
и вторая общая внутренняя касательная к окружностям s_{1}
и s_{2}
проходят через одну точку.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
, E
— отличная от D
точка пересечения прямой BD
с окружностью s_{2}
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACE=\angle CDE=\angle CDB=\angle CAB
(вписанные в окружность углы CDB
и CAB
опираются на одну и ту же дугу). Значит, CE\parallel AB
.
При гомотетии с центром O
, переводящей точку C
в точку A
, точка E
переходит в B
, причём коэффициент этой гомотетии отрицателен. Окружность s_{2}
переходит в некоторую окружность s
, проходящую через точки A
и B
. Градусная мера дуги AB
окружности s_{1}
равна градусной мере дуги CE
окружности s_{2}
, так как
\smile AB=2\angle BAC=2\angle BDC=2\angle EDC=\smile CE.
Поэтому окружность s_{1}
совпадает с s
. Таким образом, окружности s_{2}
и s_{1}
гомотетичны с центром O
и отрицательным коэффициентом, модуль которого равен отношению радиусов окружностей. Следовательно, общие внутренние касательные окружностей s_{1}
и s_{2}
пересекаются в точке O
. Что и требовалось доказать.
