6346. Дана трапеция ABCD
(AB\parallel CD
). Обозначим через R_{1}
и R_{2}
радиусы описанных окружностей треугольников ACD
и BCD
. Докажите, что AB^{2}\leqslant4R_{1}R_{2}
.
Решение. Обозначим \angle ADC=\alpha
, \angle BCD=\beta
. По теореме синусов
2R_{1}=\frac{AC}{\sin\alpha},~2R_{2}=\frac{BD}{\sin\beta}.
Перемножив почленно эти равенства, получим, что
4R_{1}R_{2}=\frac{AC\cdot BD}{\sin\alpha\sin\beta}.
Пусть R_{3}
и R_{4}
— радиусы описанных окружностей треугольников ABD
и ABC
соответственно. Аналогично предыдущему докажем, что
4R_{3}R_{4}=\frac{AC\cdot BD}{\sin(180^{\circ}-\alpha)\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{AC\cdot BD}{\sin\alpha\sin\beta}.
Следовательно, 4R_{1}R_{2}=4R_{3}R_{4}
. Теперь достаточно доказать, что 4R_{3}R_{4}\geqslant AB^{2}
.
Заметим, что 2R_{4}\geqslant AB
, так как 2R_{4}
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
, а AB
— хорда этой же окружности. Аналогично 2R_{3}\geqslant AB
. Перемножая эти два неравенства, получим, что 4R_{3}R_{4}\geqslant AB^{2}
.
Автор: Джукич Д.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2008 г., отборочный тур, 9 класс