6347. Пусть I
и I_{A}
— соответственно центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC
. Прямая l_{A}
проходит через ортоцентры треугольников BIC
и BI_{A}C
. Аналогичным образом определяются прямые l_{B}
и l_{C}
. Докажите, что прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть A_{1}
— середина стороны BC
, H_{A}
— ортоцентр треугольника BIC
, H_{A}'
— ортоцентр треугольника BI_{A}C
.
Угол между биссектрисами смежных углов — прямой, поэтому \angle IBI_{A}=\angle ICI_{A}=90^{\circ}
. Прямые BI
и CH_{A}'
перпендикулярны одной и той же прямой BI_{A}
, поэтому они параллельны. Аналогично, параллельны прямые CI
и BH_{A}'
, значит, четырёхугольник BICH_{A}'
— параллелограмм, причём точка A_{1}
— середина его диагонали BC
, поэтому A_{1}
— середина диагонали IH_{A}'
, т. е. точки I
и H_{A}'
симметричны относительно точки A_{1}
.
Аналогично докажем, что точки I_{A}
и H_{A}
также симметричны относительно точки A_{1}
. Таким образом, при симметрии относительно точки A_{1}
прямая l_{A}
(т. е. H_{A}H_{A}'
) переходит в прямую I_{A}I
, т. е. в прямую, содержащую биссектрису угла A
треугольника ABC
(точки I
и I_{A}
лежат на этой биссектрисе как центры вписанной и вневписанной окружностей). Аналогично, прямые l_{B}
и l_{C}
симметричны биссектрисам углов B
и C
относительно середин сторон AC
и AB
соответственно.
Через вершины треугольника ABC
проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам. Обозначим вершины треугольника, образованного пересечениями этих прямых через A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
соответственно (A_{2}B_{2}\parallel AB
, A_{2}C_{2}\parallel AC
и B_{2}C_{2}\parallel BC
). Четырёхугольник ABA_{2}C
— параллелограмм, поэтому прямая l_{A}
, симметричная AI
относительно точки A_{1}
, содержит биссектрису угла A_{2}
треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
. Аналогично, прямые l_{B}
и l_{C}
содержат биссектрисы углов соответственно B_{2}
и C_{2}
этого треугольника, а так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то и прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2008 г., отборочный тур, 10 класс