6349. Вневписанные окружности касаются сторон
AB
и
AC
треугольника
ABC
в точках
P
и
Q
соответственно. Точка
L
— середина
PQ
, точка
M
— середина
BC
. Точки
L_{1}
и
L_{2}
симметричны точке
L
относительно середин отрезков
BM
и
CM
соответственно. Докажите, что
L_{1}P=L_{2}Q
.
Решение. Пусть
p
— полупериметр треугольника
ABC
. Тогда
CB+BP=p
и
CB+CQ=p
, поэтому
BP=p-CB=CQ
.
Положим
\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b}
,
\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{c}
. Точки
L
и
M
— середины отрезков
PQ
и
BC
, поэтому
\overrightarrow{LM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
(см. задачу 4504).
Отрезки
BL_{1}
и
CL_{2}
равны и параллельны отрезку
LM
(точки
L_{1}
и
L_{2}
симметричны точке
L
относительно середин отрезков
BM
и
CM
), поэтому
\overrightarrow{BL_{1}}=\overrightarrow{CL_{2}}=\overrightarrow{LM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}).

Вектор
\overrightarrow{LM}
равен полусумме равных по модулю векторов
\overrightarrow{b}
и
\overrightarrow{c}
(см. задачу 4504), значит, он образует равные углы с этими векторами (диагональ ромба делит его угол пополам), т. е. параллелен биссектрисе угла
BAC
. Тогда и прямые
BL_{1}
и
CL_{2}
образуют равные углы с прямыми
AB
и
AC
соответственно. Следовательно,
\angle PBL_{1}=\angle QCL_{2}
.
Треугольники
PBL_{1}
и
QCL_{2}
равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно,
PL_{1}=QL_{2}
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2008, отборочный тур, 11 класс