6350. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен 13, \cos\angle BAC=-\frac{5}{13}
, высота, опущенная на сторону BC
, равна 5. Найдите длину той хорды AM
описанной окружности, которая делится пополам стороной BC
.
Ответ. \sqrt{26(13\pm\sqrt{69})}
.
Решение. Пусть K
— середина искомой хорды AM
. Через точку M
проведём хорду MN
, параллельную стороне BC
. Тогда точка L
пересечения отрезков AN
и BC
— середина AN
, значит, задача имеет два решения. Кроме того, высота AP
треугольника AMN
вдвое больше высоты AH
треугольника ABC
, значит AP=10
и PH=5
.
Пусть R=13
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. По теореме синусов
BC=2R\sin\angle BAC=26\sqrt{1-\frac{25}{169}}=26\cdot\frac{12}{13}=24.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, Q
— середина BC
. Из прямоугольного треугольника OQB
находим, что
OQ=\sqrt{OB^{2}-BQ^{2}}=\sqrt{169-144}=5,
а так как расстояние между параллельными хордами BC
и MN
также равно 5, то точка O
лежит на отрезке MN
. Следовательно, MN
— диаметр окружности.
Из прямоугольного треугольника AOP
находим, что \sin\angle AOP=\frac{AP}{AO}=\frac{10}{13}
. Тогда
\cos\angle AOP=\sqrt{1-\frac{100}{169}}=\frac{\sqrt{69}}{13}.
Следовательно,
AN=\sqrt{OA^{2}+ON^{2}-2OA\cdot ON\cos\angle AON}=\sqrt{169+169-2\cdot13\cdot13\cdot\frac{\sqrt{69}}{13}}=
=\sqrt{26(13-\sqrt{69})}.
Аналогично находим, что AM=\sqrt{26(13+\sqrt{69})}
(в этом случае \cos\angle AOM=-\frac{\sqrt{69}}{13}
).