6351. Дан ромб ABCD
с диагоналями AC=24
и BD=10
. Проведена окружность радиуса \frac{5\sqrt{2}}{2}
с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B
, касается этой окружности и пересекает прямую CD
в точке M
. Найдите CM
.
Ответ. \frac{91}{17}
или \frac{221}{7}
.
Решение. Пусть точка M
лежит между C
и D
(рис. 1), P
— точка касания прямой BM
с данной окружностью, O
— центр ромба.
По теореме Пифагора
CD=\sqrt{OD^{2}+OC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.
Обозначим \angle OBM=\alpha
, \angle BDC=\beta
. Из прямоугольных треугольников OPB
и COD
находим, что
\sin\alpha=\frac{OP}{OB}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2},~\alpha=45^{\circ},
\cos\beta=\frac{OD}{CD}=\frac{5}{13},~\sin\beta=\frac{12}{13}.
Применяя теорему синусов к треугольнику BMD
получим, что \frac{DM}{\sin\angle MBD}=\frac{BD}{\sin\angle BMD}
, поэтому
MD=\frac{BD\sin\angle MBD}{\sin\angle BMD}=\frac{10\sin45^{\circ}}{\sin(180^{\circ}-45^{\circ}-\beta)}=\frac{5\sqrt{2}}{\sin(45^{\circ}+\beta)}=
=\frac{5\sqrt{2}}{\sin45^{\circ}\cos\beta+\cos45^{\circ}\sin\beta}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{5}{13}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{12}{13}}=\frac{130}{17}.
Следовательно,
CM=CD-MD=13-\frac{130}{17}=\frac{91}{17}.
Пусть теперь точка M
лежит на продолжении стороны CD
за точку D
(рис. 2). Тогда по теореме о внешнем угле треугольника \angle BMD=\angle BDC-\angle MBD=\beta-\alpha
. Далее, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим, что
MD=\frac{5\sqrt{2}}{\sin(\beta-45^{\circ})}=\frac{5\sqrt{2}}{\sin\beta\cos45^{\circ}-\sin45^{\circ}\cos\beta}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{12}{13}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{5}{13}}=\frac{130}{7}.
Следовательно,
CM=CD+MD=13+\frac{130}{7}=\frac{221}{7}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — Задача C4, 2010