6356. В треугольнике ABC
AB=7
, BC=9
, CA=4
. Точка D
лежит на прямой BC
так, что BD:DC=1:5
. Окружности, вписанные в треугольники ADC
и ADB
, касаются стороны AD
в точках E
и F
. Найдите длину отрезка EF
.
Ответ. 4,5 или 6.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если окружность, вписанная в треугольник KLM
, касается его стороны MK
в точке P
, то MP=\frac{1}{2}(MK+ML-KL)
.
Доказательство. Пусть Q
и R
— точки касания вписанной окружности треугольника KLM
со сторонами ML
и KL
соответственно (рис. 1). Тогда
MQ=MP,~KP=KR,~LQ=LR,
KL=KR+LR=KP+LQ=(MK-MP)+(ML-MQ)=
=MK+ML-(MP+MQ)=MK+ML-2MP.
Следовательно, MP=\frac{1}{2}(MK+ML-KL)
, что и требовалось доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть вписанные окружности треугольников ADC
и ABD
касаются отрезка AD
в точках E
и F
соответственно, причём точка D
лежит на отрезке BC
(рис. 2). Тогда по доказанному
AE=\frac{1}{2}(AD+AC-CD),~AF=\frac{1}{2}(AD+AB-BD),
значит,
EF=|AF-AE|=\left|\frac{1}{2}(AD+AB-BD)-\frac{1}{2}(AD+AC-CD)\right|=
=\frac{1}{2}\left|AD+AB-BD-AD-AC+CD\right|=\frac{1}{2}|AB-AC-BD+CD|=
=\frac{1}{2}\left|AB-AC-\frac{1}{6}BC+\frac{5}{6}BC\right|=\frac{1}{2}\left|AB-AC+\frac{2}{3}BC\right|=\frac{1}{2}\left|7-4+\frac{2}{3}\cdot9\right|=4{,}5.
Пусть теперь точка D
лежит вне отрезка BC
(рис. 3). Тогда она лежит на продолжении отрезка BC
за точку B
. Аналогично предыдущему случаю
EF=|AF-AE|=\frac{1}{2}|AB-AC-BD+CD|=
=\frac{1}{2}\left|AB-AC-\frac{1}{4}BC+\frac{5}{4}BC\right|=\frac{1}{2}|AB-AC+BC|=\frac{1}{2}|7-4+9|=6.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2010