6361. Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен \frac{15}{17}
. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.
Ответ. 512
или 800
.
Решение. Пусть вершины K
и L
прямоугольника KLMN
лежат на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
(точка K
между B
и L
), а вершины M
и N
— на боковых сторонах AC
и AB
соответственно.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\angle ACB=\beta
. Тогда
\cos\alpha=\frac{15}{17},~\sin\alpha=\frac{8}{17},~\tg\beta=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=4.
Предположим, что сторона KL
прямоугольника вдвое больше его стороны KN
. Положим KN=x
, KL=2x
. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что BK=KN\ctg\alpha=\frac{x}{4}
. Тогда LC=BK=\frac{x}{4}
, а так как KL=MN=2x
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{x}{4}+2x+\frac{x}{4}=\frac{5}{2}x=40,
откуда x=16
. Тогда KL=2x=32
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=32\cdot16=512.
Пусть теперь сторона KN
прямоугольника вдвое больше его стороны KL
. Положим KL=y
, KN=2y
. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что BK=KN\ctg\alpha=\frac{2y}{4}=\frac{y}{2}
. Тогда LC=BK=\frac{y}{2}
, а так как KL=MN=y
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{y}{2}+y+\frac{y}{2}=2y=40,
откуда y=20
. Тогда KN=2y=40
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=20\cdot40=800.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — Задача C4, 2010