6361. Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен
\frac{15}{17}
. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.
Ответ.
512
или
800
.
Решение. Пусть вершины
K
и
L
прямоугольника
KLMN
лежат на основании
BC
равнобедренного треугольника
ABC
(точка
K
между
B
и
L
), а вершины
M
и
N
— на боковых сторонах
AC
и
AB
соответственно.
Обозначим
\angle BAC=\alpha
,
\angle ABC=\angle ACB=\beta
. Тогда
\cos\alpha=\frac{15}{17},~\sin\alpha=\frac{8}{17},~\tg\beta=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=4.

Предположим, что сторона
KL
прямоугольника вдвое больше его стороны
KN
. Положим
KN=x
,
KL=2x
. Из прямоугольного треугольника
BKN
находим, что
BK=KN\ctg\alpha=\frac{x}{4}
. Тогда
LC=BK=\frac{x}{4}
, а так как
KL=MN=2x
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{x}{4}+2x+\frac{x}{4}=\frac{5}{2}x=40,

откуда
x=16
. Тогда
KL=2x=32
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=32\cdot16=512.

Пусть теперь сторона
KN
прямоугольника вдвое больше его стороны
KL
. Положим
KL=y
,
KN=2y
. Из прямоугольного треугольника
BKN
находим, что
BK=KN\ctg\alpha=\frac{2y}{4}=\frac{y}{2}
. Тогда
LC=BK=\frac{y}{2}
, а так как
KL=MN=y
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{y}{2}+y+\frac{y}{2}=2y=40,

откуда
y=20
. Тогда
KN=2y=40
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=20\cdot40=800.