6362. Основание равнобедренного треугольника равно 110, косинус угла при вершине равен \frac{5}{13}
. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.
Ответ. 2178
или 1800
.
Решение. Пусть вершины K
и L
прямоугольника KLMN
лежат на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
(точка K
между B
и L
), а вершины M
и N
— на боковых сторонах AC
и AB
соответственно.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\angle ACB=\beta
. Тогда
\cos\alpha=\frac{5}{13},~\sin\alpha=\frac{12}{13},~\tg\beta=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{3}{2}.
Предположим, что сторона KL
прямоугольника вдвое больше его стороны KN
. Положим KN=x
, KL=2x
. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что BK=KN\ctg\alpha=\frac{2x}{3}
. Тогда LC=BK=\frac{2x}{3}
, а так как KL=MN=2x
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{2x}{3}+2x+\frac{2x}{3}=\frac{10}{3}x=110,
откуда x=33
. Тогда KL=2x=66
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=66\cdot33=2178.
Пусть теперь сторона KN
прямоугольника вдвое больше его стороны KL
. Положим KL=y
, KN=2y
. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что BK=KN\ctg\alpha=\frac{4y}{3}
. Тогда LC=BK=\frac{4y}{3}
, а так как KL=MN=y
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{4y}{3}+y+\frac{4y}{3}=\frac{11}{3}y=110,
откуда y=30
. Тогда KN=2y=60
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=30\cdot60=1800.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — Задача C4, 2010