6365. Основание равнобедренного треугольника равно 18,2, косинус угла при вершине равен \frac{21}{29}
. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.
Ответ. 84{,}5
или 98
.
Решение. Пусть вершины K
и L
прямоугольника KLMN
лежат на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
(точка K
между B
и L
), а вершины M
и N
— на боковых сторонах AC
и AB
соответственно.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\angle ACB=\beta
. Тогда
\cos\alpha=\frac{21}{29},~\sin\alpha=\frac{20}{29},~\tg\beta=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac{21}{29}}{\frac{20}{29}}=\frac{5}{2}.
Предположим, что сторона KL
прямоугольника вдвое больше его стороны KN
. Положим KN=x
, KL=2x
. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что BK=KN\ctg\alpha=\frac{2x}{5}
. Тогда LC=BK=\frac{2x}{5}
, а так как KL=MN=2x
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{2x}{5}+2x+\frac{2x}{5}=\frac{14}{5}x=18{,}2,
откуда x=6{,}5
. Тогда KL=2x=13
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=6{,}5\cdot13=84{,}5.
Пусть теперь сторона KN
прямоугольника вдвое больше его стороны KL
. Положим KL=y
, KN=2y
. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что BK=KN\ctg\alpha=\frac{4y}{5}
. Тогда LC=BK=\frac{4y}{5}
, а так как KL=MN=y
, то
BC=BK+KL+LC=\frac{4y}{5}+y+\frac{4y}{5}=\frac{13}{5}y=18{,}2,
откуда y=7
. Тогда KN=2y=14
. Следовательно,
S_{KLMN}=KL\cdot KN=7\cdot14=98.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — Задача C4, 2010