6376. Окружность S
проходит через вершину C
прямого угла и пересекает его стороны в точках, удалённых от вершины C
на расстояния 14 и 48. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S
.
Ответ. 12
или 112
.
Решение. Пусть окружность S
с центром O
и радиусом R
пересекает стороны данного прямого угла в точках A
и B
, AC=14
, BC=48
, искомая окружность с центром Q
касается сторон AC
и BC
угла ACB
в точках N
и K
соответственно, а окружности S
— в точке M
.
Точка O
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
, поэтому O
— середина его гипотенузы AB
,
R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{48^{2}+14^{2}}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{24^{2}+7^{2}}=25.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки O
, Q
и M
лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH
из центра окружности S
на прямую BC
. Тогда OH
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому OH=\frac{1}{2}AC=24
и CH=\frac{1}{2}BC=7
, а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то \angle QCK=45^{\circ}
, поэтому CK=QK=r
.
Опустим перпендикуляр QF
из центра искомой окружности на прямую OH
. Тогда
OF=|FH-OH|=|QK-OH|=|r-24|,~QF=KH=|r-7|.
Предположим, что искомая окружность и окружность S
касаются внутренним образом (рис. 1). Тогда OQ=OM-QM=R-r=25-r
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ
. По теореме Пифагора OQ^{2}=OF^{2}+QF^{2}
или (25-r)^{2}=(r-24)^{2}+(r-7)^{2}
, откуда находим, что r=12
.
Если же искомая окружность касается данной внешним образом (рис. 2), то OQ=OM+QM=R+r=13+r
. Тогда из соответствующего уравнения (25+r)^{2}=(12-r)^{2}+(r-5)^{2}
находим, что r=112
.