6380. На продолжении боковой стороны AB
за точку B
и на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
взяты точки M
и N
соответственно. Прямая MN
пересекает сторону AC
в точке K
. Найдите NK
, если BC=3a
, BM=BN=a
и \angle ACB=\alpha
.
Ответ. \frac{2a\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}
.
Решение. Угол ABC
— внешний угол равнобедренного треугольника MBN
, поэтому
\angle CNK=\angle BNM=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{\alpha}{2}.
По теореме синусов
\frac{NK}{\sin\angle NCK}=\frac{CN}{\sin\angle CKN},~\mbox{или}~\frac{NK}{\sin\alpha}=\frac{2a}{\sin\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)},
откуда
NK=\frac{2a\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}.