6381. На продолжении боковой стороны AB
за точку B
и на боковой стороне AC
равнобедренного треугольника ABC
взяты точки M
и N
соответственно. Прямая MN
пересекает основание BC
в точке K
. Найдите NK
, если AB=3a
, AN=2a
и \angle BAC=2\alpha
, \angle AMN=\alpha
.
Ответ. \frac{a\cos\alpha}{\cos2\alpha}
.
Решение. Угол ABK
— внешний угол треугольника MBK
, поэтому
\angle CKN=\angle MKB=\angle ABK-\angle BMK=(90^{\circ}-\alpha)-\alpha=90^{\circ}-2\alpha.
По теореме синусов
\frac{NK}{\sin\angle NCK}=\frac{CN}{\sin\angle CKN},~\mbox{или}~\frac{NK}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}=\frac{a}{\sin(90^{\circ}-2\alpha)},
откуда
NK=\frac{a\sin(90^{\circ}-\alpha)}{\sin(90^{\circ}-2\alpha)}=\frac{a\cos\alpha}{\cos2\alpha}.