6382. Углы тупоугольного треугольника ABC
удовлетворяют равенству \sin(A-B)=\sin^{2}A-\sin^{2}B
. Найдите периметр этого треугольника, если известен радиус описанной окружности равен R
, а один из углов равен \frac{\pi}{8}
.
Ответ. R(\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}})
.
Указание. Данный треугольник — равнобедренный.
Решение. Умножим на 2 обе части данного равенства и воспользуемся формулами тригонометрии:
2\sin(A-B)=2\sin^{2}A-2\sin^{2}B~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin(A-B)=1-\cos2A-1+\cos2B~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin(A-B)=\cos2B-\cos2A~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin(A-B)=-2\sin(A+B)\sin(A-B)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin(A-B)(1+\sin(A+B))=0.
Поскольку A
и B
углы треугольника, второй сомножитель положителен, поэтому \sin(A-B)=0
, что возможно только в случае, когда A=B
. Значит, треугольник ABC
— равнобедренный, а так как угол при основании равнобедренного треугольника острый, то A=B=\frac{\pi}{8}
.
По теореме синусов находим, что
AC=BC=2R\sin\frac{\pi}{8}=2R\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}=R\sqrt{2-\sqrt{2}},
AB=2R\sin\left(\pi-2\cdot\frac{\pi}{8}\right)=2R\sin\frac{\pi}{4}=R\sqrt{2}.
Следовательно, периметр треугольника ABC
равен
AC+BC+AB=2\cdot R\sqrt{2-\sqrt{2}}+R\sqrt{2}=R(2\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2}).
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1996, основной экзамен, вариант 2, № 4