6383. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты равны a
. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45^{\circ}
получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.
Ответ. \frac{a^{2}(\sqrt{2}-1)}{2}
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
, в котором \angle C=90^{\circ}
и AC=BC=a
. Пусть при повороте вокруг вершины C
на угол 45^{\circ}
вершина B
переходит в точку B_{1}
, а вершина A
— в точку A_{1}
. Тогда треугольник A_{1}B_{1}C
— также прямоугольный и равнобедренный, причём A_{1}B_{1}\parallel BC
.
Пусть отрезки A_{1}B_{1}
и AC
пересекаются в точке K
, отрезки CB_{1}
и AB
— в точке M
, а отрезки A_{1}B_{1}
и AB
— в точке L
. Тогда M
— середина AB
,
KL=AK=AC-CK=a-\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a(2-\sqrt{2)}}{2},
S_{\triangle ACM}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{4}a^{2},
S_{\triangle AKL}=\frac{1}{2}AK\cdot KL=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}(2-\sqrt{2})^{2}}{8}=\frac{a^{2}(\sqrt{2}-1)^{2}}{4}.
Следовательно,
S_{CKLM}=S_{\triangle ACM}-S_{\triangle AKL}=\frac{1}{4}a^{2}-\frac{a^{2}(\sqrt{2}-1)^{2}}{4}=\frac{a^{2}(\sqrt{2}-1)}{2}.