6385. Диагонали вписанного в окружность четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
, причём \angle ADB=\frac{\pi}{8}
, BD=6
и AD\cdot CE=DC\cdot AE
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 9\sqrt{2}
.
Решение. Из равенства AD\cdot CE=DC\cdot AE
следует, что \frac{AE}{EC}=\frac{DC}{AD}
, поэтому DE
— биссектриса треугольника ADC
, а DB
— биссектриса вписанного угла ADC
. Значит,
\angle ACB=\angle ADB=\angle CDB=\frac{\pi}{8},~\angle ADC=2\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.
Треугольник CBE
подобен треугольнику DBC
по двум углам (угол при вершине B
— общий), поэтому \frac{EC}{DC}=\frac{BC}{BD}
, откуда BC\cdot DC=BD\cdot EC=6EC
. Аналогично получим, что AB\cdot AD=6AE
.
Обозначим \angle BCD=\alpha
. Тогда \angle BAD=\pi-\alpha
. Пусть радиус окружности равен R
. Тогда
\sin\alpha=\frac{BD}{2R}=\frac{3}{R},~AC=2R\sin\angle ADC=2R\sin\frac{\pi}{4}=R\sqrt{2},
S_{ABCD}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle BAD}=\frac{1}{2}BC\cdot DC\sin\alpha+\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin(\pi-\alpha)=
=\frac{1}{2}(BC\cdot DC+AB\cdot AD)\sin\alpha=\frac{1}{2}(6EC+6AE)\sin\alpha=3(EC+AE)\sin\alpha=
=3AC\sin\alpha=3\cdot R\sqrt{2}\cdot\sin\alpha=3R\sqrt{2}\cdot\frac{3}{R}=9\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1997, май, вариант 1, № 4