6386. Диагонали вписанного в окружность четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
, причём \angle BAC=\frac{\pi}{12}
, AC=6
и AB\cdot MD=AD\cdot MB
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 9.
Решение. Из равенства AB\cdot MD=AD\cdot MB
следует, что \frac{AB}{AD}=\frac{MB}{MD}
, поэтому AM
— биссектриса треугольника ABD
, а AC
— биссектриса вписанного угла BAD
. Значит,
\angle BDC=\angle BAC=\angle CAD=\frac{\pi}{12},~\angle BAD=2\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}.
Треугольник CMD
подобен треугольнику CDA
по двум углам (угол при вершине C
— общий), поэтому \frac{DM}{AD}=\frac{CD}{AC}
, откуда CD\cdot AD=AC\cdot DM=6DM
. Аналогично получим, что BC\cdot AB=6BM
.
Обозначим \angle ADC=\alpha
. Тогда \angle ABC=\pi-\alpha
. Пусть радиус окружности равен R
. Тогда
\sin\alpha=\frac{AC}{2R}=\frac{3}{R},~BD=2R\sin\angle BAD=2R\sin\frac{\pi}{6}=R,
S_{ABCD}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD\cdot DC\sin\alpha+\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin(\pi-\alpha)=
=\frac{1}{2}(AD\cdot DC+AB\cdot BC)\sin\alpha=\frac{1}{2}(6DM+6BM)\sin\alpha=3(DM+BM)\sin\alpha=
=3BD\sin\alpha=3R\cdot\sin\alpha=3R\cdot\frac{3}{R}=9.